概率中的一个重要操作是找到加权平均值。概率分布的函数的平均值被称为的期望,记作

所以平均值是有不同的的概率进行加权的。在连续变量的情形下,期望由对应的概率密度的积分的形式表示:

两种情形下,如果我们给定有限的个点,这些点满足某个概率分布或概率密度函数,那么期望可以通过求和的方式估计:

在第11章中讨论取样方法时,我们会广泛使用这个方法。当时,公式(1.35)的估计就精确了。
有时,我们会考虑多变量函数的期望。这种情形下,我们可以使用下标来表明根据哪个变量进行的平均,例如:

表示函数关于的分布的平均,注意是关于的函数。

我们同样可以得到关于条件分布的条件期望(conditional expectation):

连续变量的定义于此类似。

方差的定义如下:

它度量了与均值之间的变异性的程度。把平方展开,方差可以写成的期望的形式:

特别的,变量自身的方差可以表示为:

对于两个变量,他们的协方差(corvariance)定义为:

它表示在多大程度上协同变化。如果相互独立,那么它们之间的协方差为0。

如果是两个随机变量的向量,那么他们的协方差是一个矩阵。

如果我们考虑向量各分量之间的协方差,可以稍微简化下我们的记法:

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