现在,我们介绍多项式分布参数的一组先验分布。观察多项式分布的公式,得到共轭先验:

其中记作是分布的参数。注意,由于总和的限制,空间上的分布被限制在维的单纯形(simplex)中。图2.4展示了的情形。

图 2-4
图 2.4 三个变量上的狄利克雷分布被限制在一个单纯形中

概率的标准形式为:

这就是狄利克雷分布(Dirichlet distribution)。其中的是1.141中定义的gamma函数,

图2.5展示的不同的参数的单纯形上的狄利克雷分布。

图 2-5
图 2.5 三个变量上的狄利克雷分布的图像,其中两个水平轴是单纯形平面上的坐标轴,垂直轴对应于概率密度的值。分布对应

公式(2.38)的先验乘以公式(2.34)的似然函数,得到参数的后验分布公式:

我们看到后验分布还是狄利克雷分布,这说明,狄利克雷分布确实是多项式分布的共轭先验。这让我们能够通过与公式(2.38)比较,确定标准化参数。得到:

其中。与二项分布的beta先验一样,可以把狄利克雷分布参数当成观测到的数量。

注意,两个状态的量既可以用公式(2.9)的二项分布表示为二元变量,也可以用的公式(2.34)的多项式分布表示为“1-of-2”变量。

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