给定一个新的输入$x$，使用参数的高斯变分后验概率很容易计算出$t$上的预测分布，即

$$\begin{eqnarray} p(t|x,t) &=& \int p(t|x,W)p(w|t)dw \\ &\simeq& \int p(t|x,w)q(w)dw \\ &=& \int\mathcal{N}(t|w^T\phi(x),\beta^{-1})\mathcal{N}(w|m_N,S_N)dw \\ &=& \mathcal{N}(t|m_N^T\phi(x),\sigma^2(x)) \tag{10.105} \end{eqnarray}$$

其中我们使用了式（2.115）给出的线性高斯模型的结果计算积分。这里，与输入相关的方差为

$$\sigma^2(x) = \frac{1}{\beta} + \phi(x)^TS_N\phi(x) \tag{10.106}$$

注意，这与我们固定$\alpha$得到的结果（3.59）的形式相同，唯一的区别在于现在期望值$\mathbb{E}[\alpha]$出现在$S_N$的定义中。