正如我们看到的，不管是高斯分布还是离散的输入，后验类概率密度都是由一般的线性模型和logistic sigmoid函数（$K = 2$个类别）或softmax（$K \geq 2$个类别）激活函数给出。这些都可以看成，当类条件密度$p(x|C_k)$是指数族分布的成员时得到结果的特例。

使用式（2.194）定义的指数族成员，得到$x$分布的形式为

$$p(x|\lambda_k) = h(x)g(\lambda_k)exp\{\lambda_k^Tu(x)\} \tag{4.83}$$

现在，我们把注意力集中在$u(x) = x$这样的分布上，然后使用式（2.236）引入一个缩放参数$s$，那么我们就可以得到形式为

$$p(x|\lambda_k,s) = \frac{1}{s}h\left(\frac{1}{s}x\right)g(\lambda_k)exp\left\{\frac{1}{s}\lambda_k^Tx\right\} \tag{4.84}$$

注意，我们已经允许各个类别有自己的参数向量$\lambda_k$，但是我们假设这些类别共享一个同样的伸缩参数$s$。

对于二分类问题，我们把这个类条件密度表达式代入式（4.58），得到类的后验概率同样由形式为

$$a(x) = (\lambda_1 - \lambda_2)^Tx + \ln g(\lambda_1) - \ln g(\lambda_2) + \ln p(C_1) - \ln p(C_2) \tag{4.85}$$

的线性函数$a(x)$上的logistic sigmoid给出。

同样的，对于$K$个类别问题，我们把类条件密度代入式（4.63）得到

$$a_k(x) = \lambda_k^Tx + \ln g(\lambda_k) + \ln p(C_k) \tag{4.86}$$

这也是$x$的线性函数。