多元高斯分布的一个重要的性质是：如果两个变量集合是联合高斯分布，以其中一个集合为条件的分布也是高斯分布。同样的，任何一个变量的边缘分布也是高斯分布。

首先，考虑条件概率的情形。假设$x$是服从高斯分布$\mathcal{N}(x|\mu, \Sigma)$的$D$维向量，把$x$划分为两个不相交的子集$x_a, x_b$。不失一般性的，令$x_a$为$x$的前$M$个分量，令$x_b$为剩余的$D − M$个分量，得到：

$x = \left( \begin{array}{c} x_a \\ x_b \end{array} \right) \tag{2.65}$

对应的均值向量$\mu$的划分：

$\mu = \left( \begin{array}{c} \mu_a \\ \mu_b \end{array} \right) \tag{2.66}$

协方差矩阵为：

$\Sigma = \left( \begin{array}{cc} \Sigma_{aa} & \Sigma_{ab} \\ \Sigma_{ba} & \Sigma_{bb} \\ \end{array} \right) \tag{2.67}$

注意，协方差矩阵是对称的即$\Sigma^T = \Sigma$，可得$\Sigma_{aa},\Sigma_{bb}$也是对称的，且$\Sigma_{ba} = \Sigma_{ab}^T$。

在很多情况下，使用协方差的逆矩阵会比较方便，记：

$$\Lambda \equiv \Sigma^{-1} \tag{2.68}$$

这被称为精度矩阵（precision matrix）。事实上，高斯分布的一些形式使用协方差来表达会比较方便，而另外的一些使用精度矩阵会比较方便。以式（2.65）划分$x$的同样的方法划分精度矩阵：

$$\Lambda = \left( \begin{array}{cc} \Lambda_{aa} & \Lambda_{ab} \\ \Lambda_{ba} & \Lambda_{bb} \\ \end{array} \right) \tag{2.69}$$

因为对称矩阵的逆同样是对称的，所以$\Lambda_{aa},\Lambda_{bb}$也是对称的，且$\Lambda_{ab}^T = \Lambda_{ba}$。需要强调的一点是：事实上，$\Lambda_{aa}$不单单是对$\Sigma_{aa}$求逆这么简单。稍后，就会讨论逆矩阵的划分和划分的逆矩阵间的关系。

首先，找到条件分布$p(x_a|x_b)$的条件分布。根据概率的乘法规则，由联合分布 $p(x) = p(x_a, x_b)$通过固定$x_b$为观测到的值，然后标准化所得到的表达式就可以得到$x_a$上的有效概率。考虑公式（2.44）给出的高斯分布的指数上的二项式，在计算的最后阶段再来考虑标准化系数，这样比显示地进行标准化更有效。使用公式（2.65），（2.66）和（2.69）的划分就能得到：

$$\begin{eqnarray} &-\frac{1}{2}&(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu) = \\ &-\frac{1}{2}&(x_a - \mu_a)^T\Lambda_{aa}(x_a - \mu_a) -\frac{1}{2}(x_a - \mu_a)^T\Lambda_{ab}(x_b - \mu_b) \\ &-\frac{1}{2}&(x_b - \mu_b)^T\Lambda_{ba}(x_a - \mu_a) -\frac{1}{2}(x_b - \mu_b)^T\Lambda_{bb}(x_b - \mu_b) \tag{2.70} \end{eqnarray}$$

把它看成$x_a$的函数，这又是一个二次型，可以推出对应的条件分布$p(x_a|x_b)$是高斯分布。由于，这个分布完全是由均值和方差定义的，我们的目标是通过式（2.70）来确定$p(x_a|x_b)$的均值和方差的表达式。

给出一个定义高斯分布的指数项的二次型，然后确定对应的均值和方差的方法被称为“配平方”，这是一种与高斯分布相关的常见的操作。一个通用的的高斯分布$\mathcal{N}(x|\mu, \Sigma)$的指数项可以写成：

$$-\frac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu) = -\frac{1}{2}x^T\Sigma^{-1}x + x^T\Sigma^{-1}\mu + const \tag{2.71}$$

其中const为与$x$无关的项，且用到的$\Sigma$的对称性。因此，如果我们把通用的二次型表示成公式（2.71）右侧的形式，那么我们可以立即令$x$中的二阶项的系数矩阵等于协方差矩阵的逆$\Sigma^{−1}$，令$x$中的线性项的系数等于$\Sigma^{-1}\mu$，这样就得到了$\mu$。

现在让我们把这个方法应用到条件高斯分布$p(x_a|x_b)$中。其中条件高斯分布的指数项的二次型由公式（2.70）给出。把这个分布的均值和协方差分别记作$\mu_{a|b}, \Sigma_{a|b}$。考虑公式（2.70）对$x_a$的函数依赖关系，其中$x_b$被当成常数。如果我们选出所有$x_a$的二阶项，就有：

$-\frac{1}{2}x_a^T\Lambda_{aa}x_a \tag{2.72}$

从这个公式中可以得到，$p(x_a|x_b)$的协方差（精度矩阵的逆）：

$\Sigma_{a|b} = \Lambda_{aa}^{-1} \tag{2.73}$

现在，考虑式（2.70）中$x_a$的所有线性项：

$x_a^T\left\{ \Lambda_{aa}\mu_a - \Lambda_{ab}(x_b - \mu_b)\right\} \tag{2.74}$

其中我们使用了$\Lambda_{ba}^T = \Lambda_{ab}$。根据通用公式（2.71）这个表达始中$x_a$的系数必须等于$\Sigma_{a|b}^{-1}\mu_{a|b}$，推出：

$$\begin{eqnarray} \mu_{a|b} &=& \Sigma_{a|b}\left\{\Lambda_{aa}\mu_a - \Lambda_{ab}(x_b - \mu_b)\right\} \\ &=& \mu_a - \Lambda_{aa}^{-1}\Lambda_{ab}(x_b - \mu_b) \tag{2.75} \end{eqnarray}$$

过程中我们使用了式（2.73）

式（2.73），（2.75）的结果是由原始的联合分布$p(x_a, x_b)$的分区精度矩阵来表示的。也可以用对应的分区协方差矩阵来表达这些结果。为了完成这一点，使用下面的关于分区矩阵的逆的等式：

$$\left( \begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array} \right)^{-1} = \left( \begin{array}{cc} M & -MBD^{-1} \\ -D^{-1}CM & D^{-1} + D^{-1}CMBD^{-1} \end{array} \right) \tag{2.76}$$

其中$M = (A - BD^{-1}C)^{-1} \tag{2.77}$。

$M^{-1}$是式（2.76）左手边矩阵关于矩阵$D$的舒尔补（Schur complement）。使用定义

$$\left( \begin{array}{cc} \Sigma_{aa} & \Sigma_{ab} \\ \Sigma_{ba} & \Sigma_{bb} \\ \end{array} \right)^{-1} = \left( \begin{array}{cc} \Lambda_{aa} & \Lambda_{ab} \\ \Lambda_{ba} & \Lambda_{bb} \\ \end{array} \right) \tag{2.78}$$

使用公式（2.76）可得：

$$\begin{eqnarray} \Lambda_{aa} &=& (\Sigma_{aa} - \Sigma_{ab}\Sigma_{bb}^{-1}\Sigma_{ba} )^{-1} \tag{2.79} \\ \Lambda_{ab} &=& -(\Sigma_{aa} - \Sigma_{ab}\Sigma_{bb}^{-1}\Sigma_{ba} )^{-1}\Sigma_{ab}\Sigma_{bb}^{-1} \tag{2.80} \end{eqnarray}$$

从这些公式中，得到条件概率$p(x_a|x_b)$的均值和方差的表达式为： $$\begin{eqnarray} \mu_{a|b} &=& \mu_a + \Sigma_{ab}\Sigma_{bb}^{-1}(x_b - \mu_b) \tag{2.81} \\ \Sigma_{a|b} &=& \Sigma_{aa} - \Sigma_{ab}\Sigma_{bb}^{-1}\Sigma_{ba} \tag{2.82} \end{eqnarray}$$

对比式（2.73）和（2.82），得到条件概率分布$p(x_a|x_b)$如果使用分区精度矩阵而不是分区协方差矩阵表示，那么它的形式会更简单。注意，条件概率分布$p(x_a|x_b)$的由式（2.81）给出的均值是$x_b$的线性函数，由公式（2.82）给出的协方差与$x_a$无关。这是线性高斯（linear-Gaussian）模型的一个例子。